Diferenciación e integración numérica.
Diferenciación numérica.
Disponemos de un conjunto de pares ordenados (xi, f(xi)) a partir de los cuales se desean obtener las derivadas.
La diferenciación numérica se puede obtener:
- Interpolando un polinomio localmente y luego derivándolo analíticamente.
- Realizando una expansión por series de Taylor de la función f(x) alrededor del punto x.
VIDEO:
https://youtu.be/fsHrYnqIr7Y
INTEGRACION NUMERICA:
El origen de la integración es el cálculo del área de diferentes superficies, así el comienzo del cálculo integral puede fijarse en la matemática de la Grecia clásica donde ya estaba presente el concepto de área, así como los métodos para el cálculo de las mismas mediante el método de exacción. Arquímedes es el matemático más importante en el cálculo de áreas en esta época. En el siglo XVII destacan los trabajos de Newton y Leibnitz, que continúan con los métodos de exacción para el cálculo de áreas de diferentes curvas. Si bien no es hasta el siglo XIX cuando los matemáticos Riemann y Cauchy dieron al método de exacción una base matemática, surgiendo el concepto de integral y relacionando la misma con el concepto de derivada utilizada con anterioridad. La mayoría de las áreas encerradas por una curva y el eje se realiza por la regla de Barrow | ( |) | ( ) ( |) ∫ = = − b a área f x dx F b F a , pero algunas veces no se puede hacer por este método: - No hay expresión algebraica de f(x) (tenemos tabla de valores o curva) - No siempre es posible calcular la primitiva F(x). Si esto ocurre se usan métodos numéricos de integración que nos das valores aproximados del resultado, siendo los más importantes: la integración por Suma de Riemann, Integración por interpolación, método de Newton-Cotes. También son estos los métodos usados por los programas informáticos para calcular las integrales definidas, dado su gran potencia de cálculo su resultado puede ser prácticamente exacto.
VIDEO:
https://youtu.be/j_moGnyBohE
INTEGRACIÓN MULTIPLE:
En esta lección vamos a estudiar la integración de funciones reales de dos o más variables. Estas
integrales suelen llamarse integrales múltiples. Aunque, por su mayor interés práctico, nos vamos a
limitar a funciones de dos y de tres variables, los resultados que expondremos se generalizan con
facilidad para funciones reales de cualquier número de variables. Como ya es usual en estas notas,
eludiremos los aspectos teóricos para centrarnos en las técnicas de cálculo de integrales dobles y
triples. Vamos a ver que el cálculo de dichas integrales se reduce al cálculo de dos o tres integrales simples lo que suele hacerse calculando las correspondientes primitivas. En todo lo que sigue
consideramos campos escalares continuos y acotados.
1. Integrales dobles y triples
Sea f : A → R un campo escalar de dos variables definido en un conjunto A ⊂ R
2
. Supongamos
que f(x ,y) > 0 para todo (x ,y)∈A. Consideremos el “cilindro” en R
3 que tiene como base el conjunto
A y como tapadera la gráfica de f , es decir el conjunto
C(f, A) =
(x,y,z)∈R
3
: (x,y)∈A, 0 6 z 6 f(x,y)
.
Las siguientes figuras muestran este conjunto para la función f(x,y) = 4 − x
2 − y
2 y los conjuntos
A = [−1,1]×[−1,1] y A =
(x,y) : x
2 +y
2 6 2
.
El valor de integral doble x A
f(x,y)d(x,y) nos da el volumen de dicho cilindro. Naturalmente,
pueden darse otras muchas interpretaciones. Por ejemplo, la función f puede representar una densidad superficial de masa o de carga eléctrica en una lámina plana A. En tal caso la integral doble
proporciona, respectivamente, la masa o la carga total de la lámina A.
Podemos interpretar al “estilo de Leibnitz”, como se hacía en el siglo XVIII, la expresión d(x ,y)
como el área de un pequeño rectángulo, un rectángulo infinitesimal de lados dx y dy. El producto
f(x,y)d(x,y) podemos interpretarlo como el volumen de un ortoedro cuya base es dicho rectángulo
infinitesimal y altura dada por f(x,y). Siguiendo esta idea, interpretamos la integral como una suma.
Esta interpretación heurística permite considerar la integral como un límite de aproximaciones al volumen del cilindro en cuestión. La siguiente figura muestra aproximaciones al volumen del primero
de los dos conjuntos representados en la figura anterior.
En esta lección vamos a estudiar la integración de funciones reales de dos o más variables. Estas
integrales suelen llamarse integrales múltiples. Aunque, por su mayor interés práctico, nos vamos a
limitar a funciones de dos y de tres variables, los resultados que expondremos se generalizan con
facilidad para funciones reales de cualquier número de variables. Como ya es usual en estas notas,
eludiremos los aspectos teóricos para centrarnos en las técnicas de cálculo de integrales dobles y
triples. Vamos a ver que el cálculo de dichas integrales se reduce al cálculo de dos o tres integrales simples lo que suele hacerse calculando las correspondientes primitivas. En todo lo que sigue
consideramos campos escalares continuos y acotados.
APLICACIONES
Aplicaciones de las integrales en Física
Las integrales se utilizan ampliamente en física para calcular una variedad de cantidades, como desplazamiento, velocidad, aceleración, trabajo y energía. Los siguientes son algunos ejemplos de estas aplicaciones:
1. Movimiento
Las integrales pueden utilizarse para calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve en una dimensión. Integrando la velocidad con respecto al tiempo se obtiene el desplazamiento, e integrando la aceleración con respecto al tiempo se obtiene la velocidad.
2. Trabajo y energía
El trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto puede ser calculado usando integrales. Esto se hace tomando la integral de la fuerza con respecto al desplazamiento del objeto.
Las integrales también pueden ser usadas para calcular la energía potencial de un sistema, como un péndulo.
3. Dinámica
Las integrales nos permiten calcular la energía mecánica total de un sistema, que es la suma de su energía cinética y potencial. Podemos lograr esto al tomar la integral del Lagrangiano, que es una función matemática que describe la dinámica del sistema.
4. Electromagnetismo
Las integrales pueden utilizarse para calcular los campos eléctrico y magnético de una carga puntual, utilizando la Ley de Coulomb y la Ley de Biot-Savart respectivamente.
También se pueden utilizar integrales para calcular la energía almacenada en un campo eléctrico o magnético, tomando la integral de la densidad de energía con respecto al volumen.
5. Termodinámica
El calor absorbido o liberado por un sistema durante un proceso puede ser calculado con integrales. Para esto, tomamos la integral del flujo de calor con respecto a la temperatura.
