SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERNECIALES

 SOLUCIOES DE ECUACIONES DIFERNCIALES

 Métodos de un paso.

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales es conocida como Método de Euler o método de las tangentes. Supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Si h es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida. De la ecuación de una recta que pasa por un punto dado, tenemos: 0 0 0 1 0 ( ) y x h x y y      ; 0 1 0 y h y y    o bien 1 0 0 y  y  hy  en donde ( , ) 0 0 0 y   f x y Si denotamos x0 + h por x1, entonces el punto Q(x1, y1) ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R(x1, y(x1)) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1).  

6.2 Método de pasos múltiples 

Se considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8<: y0(x) = f(x; y(x)); x 2 [a; b]; y(a) = y0 dado, el que supondremos tiene solución única, y : [a; b] Dada una partición del intervalo [a; b]: a = x0 < x1 < < xN = b; los métodos que hemos visto hasta aquí sólo usan la información del valor yi de la solución calculada en xi para obtener yi+1. Por eso se denominan métodos de paso simple. Parece razonable pensar que también podrían utilizarse los valores yi. Para ello, si integramos y0(x) = f(x; y(x)) en el intervalo [xi; xi+1], se tiene: Z xi+1 xi y0(x) dx = Z xi+1 xi f(x; y(x)).

6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

 Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales puede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. 

APLICASIONES:

https://youtu.be/hPPgDoOLhWg

INTERPOLACION Y AJUSTE DE FUNCIONES

INTERPOLACION Y AJUSTES DE FUNCIONES

 

5.1 Polinomio de interpolación de Newton

Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio.

Existen ciertas ventajas en el uso de este polinomio respecto al polinomio interpolador de Lagrange. Por ejemplo, si fuese necesario añadir algún nuevo punto o nodo a la función, tan sólo habría que calcular este último punto, dada la relación de recurrencia existente y demostrada anteriormente.

El primer paso para hallar la fórmula de la interpolación es definir la pendiente de orden  de manera recursiva:

• : término i-ésimo de la secuencia
• 
• 

En general:

,

donde  representa la distancia entre dos elementos (por ejemplo, se puede tener el elemento en  y  pero desconocer el valor de la secuencia en ).

Puede apreciarse cómo en la definición general se usa la pendiente del paso anterior, , a la cual se le resta la pendiente previa de mismo orden, es decir, el subíndice de los términos se decrementa en , como si se desplazara, para obtener .

Nótese también que aunque el término inicial siempre es , este puede ser en realidad cualquier otro, por ejemplo, se puede definir  de manera análoga al caso mostrado arriba.

5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange. 

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.¹​ Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Dado un conjunto de k + 1 puntos

donde todos los x_j se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

de bases polinómicas de Lagrange

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con el problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.

Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador

Si se aumenta el número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4, dado que no existen métodos directos de resolución de ecuaciones de grado 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situación extremadamente rara.

La tecnología actual permite manejar polinomios de grados superiores sin grandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computación. Pero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos consecutivos o nodos. Se podría decir que a partir del grado 6 las oscilaciones son tal que el método deja de ser válido, aunque no para todos los casos.

Sin embargo, pocos estudios requieren la interpolación de tan solo 6 puntos. Se suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, el grado de este polinomio sería tan alto que resultaría inoperable. Por lo tanto, en estos casos, se recurre a otra técnica de interpolación, como por ejemplo a la Interpolación polinómica de Hermite o a los splines cúbicos

Otra gran desventaja, respecto a otros métodos de interpolación, es la necesidad de recalcular todo el polinomio si se varía el número de nodos.

5.3 Interpolación segmentada.

 5.4 Regresión y correlación

El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar la relación funcional entre dos o más variables, ajustando algún modelo matemático.

La regresión lineal es una técnica que permite cuantificar la relación que puede ser observada cuando se grafica un diagrama de puntos dispersos correspondientes a dos variables, cuya tendencia general es rectilínea ; mediante una ecuación “del mejor ajuste” de la forma:

Y= mX+b

Regresión lineal simple es un modelo óptimo para patrones de demanda con tendencia (creciente o decreciente), es decir, patrones que presenten una relación de linealidad entre la demanda y el tiempo.

 

 5.5 Mínimos cuadrados

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados —variable independiente, variable dependiente— y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

5.6 Problemas de aplicación.

topografía y hasta en diseño de las estructuras, no en todos los casos pero principalmente cuando hay mala toma de datos o haya datos faltantes.

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenado. Tenemos los siguientes 3:

·         Interpolación Segmentaria Lineal

·         Interpolación Segmentaria Cuadrática

·         Interpolación Segmentaria Cúbica

 

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMERICA

                                                 Diferenciación e integración numérica.

Diferenciación numérica. 

Disponemos de un conjunto de pares ordenados (xi, f(xi)) a partir de los cuales se desean obtener las derivadas.

La diferenciación numérica se puede obtener: 

- Interpolando un polinomio localmente y luego derivándolo analíticamente.

- Realizando una expansión por series de Taylor de la función f(x) alrededor del punto x.

VIDEO:

https://youtu.be/fsHrYnqIr7Y

INTEGRACION NUMERICA:

El origen de la integración es el cálculo del área de diferentes superficies, así el comienzo del cálculo integral puede fijarse en la matemática de la Grecia clásica donde ya estaba presente el concepto de área, así como los métodos para el cálculo de las mismas mediante el método de exacción. Arquímedes es el matemático más importante en el cálculo de áreas en esta época. En el siglo XVII destacan los trabajos de Newton y Leibnitz, que continúan con los métodos de exacción para el cálculo de áreas de diferentes curvas. Si bien no es hasta el siglo XIX cuando los matemáticos Riemann y Cauchy dieron al método de exacción una base matemática, surgiendo el concepto de integral y relacionando la misma con el concepto de derivada utilizada con anterioridad. La mayoría de las áreas encerradas por una curva y el eje se realiza por la regla de Barrow | ( |) | ( ) ( |) ∫ = = − b a área f x dx F b F a , pero algunas veces no se puede hacer por este método: - No hay expresión algebraica de f(x) (tenemos tabla de valores o curva) - No siempre es posible calcular la primitiva F(x). Si esto ocurre se usan métodos numéricos de integración que nos das valores aproximados del resultado, siendo los más importantes: la integración por Suma de Riemann, Integración por interpolación, método de Newton-Cotes. También son estos los métodos usados por los programas informáticos para calcular las integrales definidas, dado su gran potencia de cálculo su resultado puede ser prácticamente exacto.

VIDEO:

https://youtu.be/j_moGnyBohE

INTEGRACIÓN MULTIPLE:

En esta lección vamos a estudiar la integración de funciones reales de dos o más variables. Estas

integrales suelen llamarse integrales múltiples. Aunque, por su mayor interés práctico, nos vamos a

limitar a funciones de dos y de tres variables, los resultados que expondremos se generalizan con

facilidad para funciones reales de cualquier número de variables. Como ya es usual en estas notas,

eludiremos los aspectos teóricos para centrarnos en las técnicas de cálculo de integrales dobles y

triples. Vamos a ver que el cálculo de dichas integrales se reduce al cálculo de dos o tres integrales simples lo que suele hacerse calculando las correspondientes primitivas. En todo lo que sigue

consideramos campos escalares continuos y acotados.

1. Integrales dobles y triples

Sea f : A → R un campo escalar de dos variables definido en un conjunto A ⊂ R

2

. Supongamos

que f(x ,y) > 0 para todo (x ,y)∈A. Consideremos el “cilindro” en R

3 que tiene como base el conjunto

A y como tapadera la gráfica de f , es decir el conjunto

C(f, A) = 

(x,y,z)∈R

3

: (x,y)∈A, 0 6 z 6 f(x,y)

.

Las siguientes figuras muestran este conjunto para la función f(x,y) = 4 − x

2 − y

2 y los conjuntos

A = [−1,1]×[−1,1] y A =



(x,y) : x

2 +y

2 6 2

.

El valor de integral doble x A

f(x,y)d(x,y) nos da el volumen de dicho cilindro. Naturalmente,

pueden darse otras muchas interpretaciones. Por ejemplo, la función f puede representar una densidad superficial de masa o de carga eléctrica en una lámina plana A. En tal caso la integral doble

proporciona, respectivamente, la masa o la carga total de la lámina A.

Podemos interpretar al “estilo de Leibnitz”, como se hacía en el siglo XVIII, la expresión d(x ,y)

como el área de un pequeño rectángulo, un rectángulo infinitesimal de lados dx y dy. El producto

f(x,y)d(x,y) podemos interpretarlo como el volumen de un ortoedro cuya base es dicho rectángulo

infinitesimal y altura dada por f(x,y). Siguiendo esta idea, interpretamos la integral como una suma.

Esta interpretación heurística permite considerar la integral como un límite de aproximaciones al volumen del cilindro en cuestión. La siguiente figura muestra aproximaciones al volumen del primero

de los dos conjuntos representados en la figura anterior.

En esta lección vamos a estudiar la integración de funciones reales de dos o más variables. Estas

integrales suelen llamarse integrales múltiples. Aunque, por su mayor interés práctico, nos vamos a

limitar a funciones de dos y de tres variables, los resultados que expondremos se generalizan con

facilidad para funciones reales de cualquier número de variables. Como ya es usual en estas notas,

eludiremos los aspectos teóricos para centrarnos en las técnicas de cálculo de integrales dobles y

triples. Vamos a ver que el cálculo de dichas integrales se reduce al cálculo de dos o tres integrales simples lo que suele hacerse calculando las correspondientes primitivas. En todo lo que sigue

consideramos campos escalares continuos y acotados.

                                                                APLICACIONES 

Aplicaciones de las integrales en Física

Las integrales se utilizan ampliamente en física para calcular una variedad de cantidades, como desplazamiento, velocidad, aceleración, trabajo y energía. Los siguientes son algunos ejemplos de estas aplicaciones:

1. Movimiento

Las integrales pueden utilizarse para calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve en una dimensión. Integrando la velocidad con respecto al tiempo se obtiene el desplazamiento, e integrando la aceleración con respecto al tiempo se obtiene la velocidad.

2. Trabajo y energía

El trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto puede ser calculado usando integrales. Esto se hace tomando la integral de la fuerza con respecto al desplazamiento del objeto.

Las integrales también pueden ser usadas para calcular la energía potencial de un sistema, como un péndulo.

3. Dinámica

Las integrales nos permiten calcular la energía mecánica total de un sistema, que es la suma de su energía cinética y potencial. Podemos lograr esto al tomar la integral del Lagrangiano, que es una función matemática que describe la dinámica del sistema.

4. Electromagnetismo

Las integrales pueden utilizarse para calcular los campos eléctrico y magnético de una carga puntual, utilizando la Ley de Coulomb y la Ley de Biot-Savart respectivamente.

También se pueden utilizar integrales para calcular la energía almacenada en un campo eléctrico o magnético, tomando la integral de la densidad de energía con respecto al volumen.

5. Termodinámica

El calor absorbido o liberado por un sistema durante un proceso puede ser calculado con integrales. Para esto, tomamos la integral del flujo de calor con respecto a la temperatura.

        

Ángulos internos de figuras geometricas

 

ANGULOS INTERNOS DE FIGURAS GEOMETRICAS +180

El concepto de ángulo interior puede extenderse de manera consistente a polígonos autointersecantes como las estrellas mediante el uso del concepto de ángulos direccionados. En general, la suma del ángulo interior en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (que se intersecan a sí mismos), viene dada por 180 (n-2k)°, donde n es el número de vértices y el número no negativo k es el número de revoluciones totales de 360° que se experimentan al recorrer el perímetro. En otras palabras, 360k° representa la suma de todos los ángulos exteriores. Por ejemplo, para polígonos convexos y cóncavos ordinarios k=1, ya que la suma de los ángulos exteriores es 360°, y se realiza solo una revolución completa recorriendo el perímetro.

CODIGO:

LENGUAJE: C++

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){

int valor=180;

int lados=3;

int lado;

cin>>lado;

for(int i=lados; i<lado; i++){

valor+=180;

}

cout<<"Angulo= "<<valor;

}

Método de interpolación

 

Pasos

1. 
   1
   Identifica el valor para el cual desees encontrar un valor correspondiente. La interpolación se puede usar para encontrar el valor de una función logarítmica o trigonométrica, o para hallar la presión de un gas o un volumen que corresponda a una temperatura dada, en el campo de la química. Debido a que las calculadoras científicas han reemplazado en gran medida a las tablas logarítmicas y trigonométricas, a manera de ejemplo, encontraremos, a través de una interpolación, el valor de la presión de un gas a una temperatura que no figure en la tabla de referencia o que no sea un punto definido de una gráfica.

   • En la ecuación de aplicación representaremos como “x” al valor para el cual queremos encontrar otro valor correspondiente, y el valor que queremos encontrar a través de la interpolación será “y”. (Usaremos “x” e “y” porque, en un gráfico, el valor conocido estaría sobre el eje horizontal, o eje “x”, mientras que el valor que intentamos encontrar estaría sobre el eje vertical, o eje “y”).
   • El valor en “x” será la temperatura del gas, la cual en este ejemplo será de 37 grados Celsius (99 grados Fahrenheit).
2. 
   2
   Encuentra los valores, tanto superior como inferior, más próximos al valor de x en la tabla o en el gráfico. La tabla de referencia no indica un valor de presión de gas para una temperatura de 37 °C (99 °F), pero sí indica valores que correspondan a 30 y 40 °C (86 y 104 °F). La presión de gas a 30 °C (86 °F) es 3 kilopascales (kPa) y la presión a 40 °C (104 °F) es 5 kPa.

   • Ya que representamos la temperatura de 37 °C (99 °F) como “x”, representaremos 30 °C como "x₁" y el valor de 40 °C (104 °F) como "x₂".
     
   • Ya que representamos la presión que intentamos encontrar como “y”, representaremos la presión de 3 kPa a 30 °C (86 °F) como "y₁" y la presión de 5 kPa a 40 °C (104 °F) como "y₂".
     
3. 
   3
   Encuentra matemáticamente el valor interpolado. La ecuación para encontrar el valor interpolado se puede escribir como: y = y₁ + ((x – x₁)/(x₂ - x₁) * (y₂ - y₁))^[2]

   • Reemplazando los valores de x, x₁, y x_/2en sus lugares, tenemos (37 – 30)/(40 -30), lo cual se simplifica a 7/10 o 0,7.
     
   • Reemplazando los valores de y₁ y y₂ al final de la ecuación da como resultado (5 – 3) o 2.
     
   • El producto de la multiplicación de 0,7 por 2 da 1,4. Sumando 1,4 al valor de y₁, o 3, tienes un valor de 4,4 kPa. Comparamos esto con nuestros valores originales: 4,4 está entre 3 kPa a 30 °C (86 °F) y 5 kPa a 40 °C (104 °F), y, ya que 37 está más próximo a 40 que a 30, el resultado debería estar más próximo a 5 kPa que a 3 kPa.