Método de bisección

                                                             MÉTODO DE BISECCÓN

El método se basa en el teorema del valor intermedio, conocido como método de la bisección, búsqueda binaria, partición de intervalos o de Bolzano.

Es un tipo de búsqueda incremental en el que:

el intervalo se divide siempre en la mitad.

Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.

La posición de la raíz se determina en el punto medio del subintervalo, izquierdo o derecho, dentro del cual ocurre un cambio de signo.

el proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación

La gráfica muestra el proceso en forma animada, observe la forma en que progresivamente se acercan los puntos [a,b], donde se mantienen valores con signo diferente entre f(a) y f(b).

Observamos la gráfica para una sola iteración y asi describir mejor el método.

Para la primera iteración se tiene como procedimiento que la función tiene un cambio de signo en el intervalo [a,b].

En intervalo se divide en la mitad, representado por el punto c, obteniendo el subintervalo izquierdo [a,c] o sub-intervalo derecho [c,b].

El sub-intervalo que contiene la función con un cambio de signo, se convierte en el nuevo intervalo a ser analizado en la siguiente iteración

Suponga que f ∈ C[a,b] y f(a)*f(b)<0, f es una función en el intervalo [a,b] y que presenta un cambio de signo.

$\mathrm{\mid }{�}_{�}-�\mathrm{\mid }\le \frac{�-�}{2^{�}}$$\text{donde }�\ge 1$

la desigualdad implica que pn converge a p con una razón de convergencia de orden:

$�\left(\frac{1}{2^{�}}\right)$

es decir:

${�}_{�}=�+�\left(\frac{1}{2^{�}}\right)$

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cantidad de iteraciones

Determine la cantidad de iteraciones necesarias para resolver

$�\left(�\right)={�}^3+4{�}^2-10=0$

con exactitud de 10 – 3 en el intervalo [1,2].

Desarrollo: Se busca encontrar un entero n que satisface la ecuación:

$\mathrm{\mid }{�}_{�}-�\mathrm{\mid }\le \frac{�-�}{2^{�}}$$2^{-�}<10^{-3}$

usando logaritmos:

$-�{\log }_{}\left(2\right)<-3$$�>\frac{3}{{\log }_{}\left(2\right)}=9\mathrm{.}96$

En consecuencia se requieren unas diez iteraciones para lograr la aproximación de 10-3. Verifique los resultados con los valores calculados.

VIDEO

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